近日，机械工程学部任飞博士在计算力学顶级期刊《Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering》（中科院一区TOP，IF：6.9）发表了题为“Physics-Informed Extreme Learning Machine (PIELM) for Stefan problems”的科研论文，提出了一种基于极限学习机的物理信息机器学习框架，用于高效高精度求解Stefan问题。任飞为第一作者，齐鲁工业大学（山东省科学院）为第一作者单位。
Stefan问题属于自由边界问题，核心在于求解相变界面（如固-液界面）随时间演化的规律。Stefan问题在多个科学与工程领域具有广泛应用，如工程领域中冷冻技术、焊接与铸造工艺，地球科学领域中冰川与冻土融化模拟，材料科学领域中合金凝固过程分析，生物医学领域中低温保存组织时的相变控制。Stefan问题作为自由边界问题的典型代表，其解法的发展持续推动计算物理与数学建模的进步。
本论文基于机器学习技术，设计了一种双神经网络结构，将控制方程和边界条件作为物理信息融入损失函数中，通过无监督学习训练网络，可同时预测温度场和相变界面随时间的演化。相较于传统数值方法，物理信息神经网络（PINN）的无网格特性在求解复杂自由边界问题时体现出巨大优势。此外，论文还采用极限学习机（ELM）代替传统深度神经网络，形成物理信息极限学习机（PIELM），通过最小二乘法训练，避免了传统梯度下降类训练算法的大量迭代运算，极大提高了求解精度和速度。该工作拓展了机器学习技术在Stefan及自由边界问题中的应用，为理解和求解自由边界问题提供了新的视角。
图1 物理信息极限学习机算法框架
图2 PIELM与PINN关于一维二相Stefan问题的结果对比
论文链接：https://doi.org/10.1016/j.cma.2025.118015
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